Построить очерки поверхностей цилиндра вращения. Построение очертаний поверхности на комплексном чертеже

На рис. 354 изображен прямой круговой конус, ось которого параллельна пл. π 2 и наклонена к пл. π 1 Очерк его фронтальной проекции задан: это равнобедренный треугольник S"D"E". Требуется построить очерк горизонтальной проекции.

Искомый очерк составляется из части эллипса и двух касательных к нему прямых. В самом деле, конус в заданном его положении проецируется на пл. π 1 при помощи поверхности эллиптического цилиндра, образующие которого проходят через точки окружности основания конуса, и при помощи двух плоскостей, касательных к поверхности конуса.

Эллипс на горизонтальной проекции можно построить по двум его осям: малой D"E" и большой, равной по своей величине D"E" (диаметру окружности основания конуса). Прямые S"B" и S"F" получатся, если провести из точки S" касательные к эллипсу. Построение этих прямых заключается в отыскании проекций тех образующих конуса, по которым происходит соприкосновение конуса и упомянутых выше плоскостей. Для этого использована сфера, вписанная в конус. Так как проецирующая на π 1 плоскость одновременно касается конуса и сферы, то можно провести касательную из точки S" к окружности - проекции экватора сферы - и принять эту касательную за проекцию искомой образующей. Построение можно начать с отыскания точки А" - фронтальной проекции одной из точек искомой образующей. Точка А" получается при пересечении фронтальных проекций: 1) окружности касания конуса и сферы (прямая M"N") и 2) экватора сферы (прямая К"L"). Теперь можно найти проекцию А" на горизонтальной проекции экватора и через точки S" и А" провести прямую - горизонтальную проекцию искомой образующей. На этой прямой определяется и точка В, горизонтальная проекция которой (точка В") есть точка касания прямой с эллипсом.

С построением очерков проекций конуса вращения мы встречаемся, например, в таком случае: даны проекции вершины конуса (S", S"), направление его оси (SK), размеры высоты и диаметра основания; построить проекции конуса. На рис. 355 это сделано при помощи дополнительных плоскостей проекций.

Так, для построения фронтальной проекции введена пл. π 3 , перпендикулярная к π 2 и параллельная прямой SK, определяющей направление оси конуса. На проекции S""K"" отложен отрезок S""C"", равный заданной высоте конуса. В точке С"" проведен перпендикуляр к S""C"", и на нем отложен отрезок C""B"", равный радиусу основания конуса. По точкам C"" и B"" получены точки C" и B" и тем самым получена малая полуось C"B" эллипса- фронтальной проекции основания конуса. Отрезок C"A" , равный C""B"", представляет собой большуюполуось этого эллипса. Имея оси эллипса, можно его построить так, как былопоказано на рис. 147.

Для построения горизонтальной проекции введена плоскость проекций π 4 , перпендикулярная к π 1 и параллельная SK. Ход построения аналогичен описанному для фронтальной проекции.

Как же построить очерки проекции? На рис. 356 показан иной, чем на рис. 354, способ проведения касательной к эллипсу - без вписанной в конус сферы.

Сначала радиусом, равным малой полуоси эллипса, из его центра проведена дуга (на рис. 356 это четверть окружности). Определяется точка 2 пересечения этой дуги с окружностью диаметра S"C". Из точки 2 проведена прямая параллельно большой оси эллипса; эта

прямая пересекает эллипс в точках К" 1 и К 2 . Теперь остается провести прямые S"К" 1 и S" К" 2 они являются касательными к эллипсу и входят в очерк фронтальной проекции конуса.

На рис. 357 изображено тело вращения с наклонной осью, параллельной пл. π 2 .Это тело ограничено комбинированной поверхностью, состоящей из двух цилиндров, поверхности кругового кольца и двух плоскостей. Очерк фронтальной проекции этого тела - его главный меридиан.

Очерк горизонтальной проекции верхней цилиндрической части данного тела составляется из эллипса и двух касательных к нему прямых. Прямая А"В" является горизонтальной проекцией образующей цилиндра, по которой проецирующая на π 1 плоскость касается поверхности цилиндра. Это же относится и к очерку проекции нижнего цилиндра (на рис. 357 этот очерк изображен не полностью).

Переходим к более сложной части очерка - промежуточной. Мы должны построить горизонтальную проекцию той пространственной кривой линии, в точках которой проходят проецирующие прямые, касательные к поверхности кругового кольца и перпендикулярные к пл. π 1 . Фронтальная проекция каждой точки такой кривой построена таким способом, как это было сделано для точки А" на рис. 354,- при помощи вписанных сфер. Горизонтальные проекции точек определяются на проекции экватора соответствующей сферы. Так построена, например, точка D 1 (D" 1 , D" 1).

Точки К" 1 и К" 2 получаются по точке К" 1 (она же К" 2) на экваторе сферы с центром О, а эта точка К" 1 (К" 2) получается при проведении линии связи, касательной к построенной кривой B"D" 1 C".

Итак, кривая B"D" 1 K" 1 содержит фронтальные проекции точек, горизонтальные проекции которых В", D" 1 , К" 1 входят в очерк горизонтальной проекции рассматриваемого тела.

Вопросы к §§ 53-54

Что называется плоскостью, касательной к кривой поверхности в данной точке этой поверхности?
Что называется обыкновенной (или правильной) точкой поверхности?
Как построить плоскость, касательную к кривой поверхности в некоторой ее точке?
Что называется нормалью к поверхности?
Как построить плоскость, касательную к сфере в какой-либо точке на сфере?
В каком случае кривая поверхность относится к числу выпуклых?
Может ли плоскость, касательная к кривой поверхности в какой-либо точке этой поверхности, пересекать последнюю? Укажите пример пересечения по двум прямым.
Как используются сферы, вписанные в поверхность вращения, ось которой параллельна пл. π 2 , для построения очерка проекции этой поверхности на пл. π 1 , по отношению к которой ось поверхности вращения наклонена под острым углом?
Как провести касательную к эллипсу из точки, лежащей на продолжении его малой оси?
В каком случае очерки проекций цилиндра вращения и конуса вращения будут совершенно одинаковыми на пл. π 1 , и пл. π 2 ?

Рис. 3.15

Поверхности вращения имеют весьма широкое применение во всех областях техники. Поверхностью вращения называют поверхность, получающуюся от вращения некоторой образующей линии 1 вокруг неподвижной прямойi - оси вращения поверхности (рис.3.15). На чертеже поверхность вращения задается своим очерком. Очерком поверхности называются линии, которые ограничивают области ее проекций. При вращении каждая точка образующей описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси. Соответственно, линия пересечения поверхности вращения плоскостью, перпендикулярной оси, является окружностью. Такие окружности называют параллелями (рис. 3.15). Параллель наибольшего радиуса называют экватором, наименьшего - горлом. Плоскость, проходящую через ось поверхности вращения, называют меридиональной, линию ее пересечения с поверхностью вращения - меридианом. Меридиан, лежащий в плоскости, параллельной плоскости проекций, называют главным меридианом. В практике выполнения чертежей наиболее часто встречаются следующие поверхности вращения: цилиндрическая, коническая, сферическая, торовая.

Рис. 3.16

Цилиндрическую поверхность вращения . В качестве направляющейа следует взять окружность, а в качестве прямойb - осьi (рис.3.16). Тогда получим, что образующаяl , параллельная осиi , вращается вокруг последней. Если ось вращения перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, то наП 1 цилиндрическая поверхность проецируется в окружность, а наП 3 - в прямоугольник. Главным меридианом цилиндрической поверхности являются две параллельные прямые.

Рис 3.17

Коническую поверхность вращения получим, вращая прямолинейную образующуюl вокруг осиi . При этом образующаяl пересекает осьi в точкеS , называемой вершиной конуса (рис.3.17). Главным меридианом конической поверхности являются две пересекающиеся прямые. Если в качестве образующей взять отрезок прямой, а ось конуса перпендикулярнойП 1 , то наП 1 коническая поверхность проецируется в круг, а наП 2 - в треугольник.

Сферическая поверхность образуется за счет вращения окружности вокруг оси, проходящей через центр окружности и лежащей в ее плоскости (рис.3.18). Экватор и меридианы сферической поверхности являются равными между собой окружностями. Поэтому при ортогональном проецировании на любую плоскость сферическая поверхность проецируется в круги.

Рис. 3.18 При вращении окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности, но не проходящей через ее центр, образуется поверхность, называемая торовой (рис.3.19).

Рис. 3.19

11.ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ.ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ, ЛИНИИ ПОВЕРХНОСТИ.ТЕОРЕМА МОНЖА. Под позиционными подразумеваются задачи, решение которых позволяет получить ответ о принадлежности элемента (точки) или подмножества (линии) множеству (поверхности). К позиционным относятся также задачи на определение общих элементов, принадлежащих различным геометрическим фигурам. Первая группа задач может быть объединена под общим названием задачи на принадлежность. К ним, в частности, относятся задачи на определение:1) принадлежности точки линии;2) принадлежности точки поверхности;3) принадлежности линии поверхности.Ко второй группе относятся задачи на пересечение. Эта группа содержит также три типа задач:1) на пересечение линии с линией;2) на пересечение поверхности с поверхностью;3) на пересечение линии с поверхностью.Принадлежность точки поверхности . Основное положение при решении задач для этого варианта принадлежности следующее: точка принадлежит поверхности, если она принадлежит какой-либо линии этой поверхности . В этом случае линии надо выбирать наиболее простыми, чтобы легче было построить проекции такой линии, затем использовать то обстоятельство, что проекции точки, лежащие на поверхности, должны принадлежать одноименным проекциям линии этой поверхности. Пример решение этой задачи показан на рисунке . Здесь есть два пути решения, поскольку можно провести две простейших линии, принадлежащих конической поверхности. В первом случае - проводится прямая линия - образующая конической поверхности S1 так, чтобы она проходила через какую-либо заданную проекцию точки С. Тем самым предполагаем, что точка С принадлежит образующей S1 конической поверхности, а следовательно - самой конической поверхности. В этом случае одноименные проекции точки С должны лежать на соответствующих проекциях этой образующей.Другая простейшая линия - окружность с диаметром 1-2 (радиус этой окружности - отсчитывается от оси конуса до очерковой образующей). Этот факт известен еще из школьного курса геометрии: при пересечении кругового конуса плоскостью, параллельной его основанию, или перпендикулярной к его оси, в сечении будет получаться окружность. Второй способ решения позволяет найти недостающую проекцию точки С, заданной своей фронтальной проекцией, принадлежащей поверхности конуса и совпадающей на чертеже с осью вращения конуса, без построения третьей проекции. Всегда следует иметь в виду, видима или не видима точка, лежащая на поверхности конуса (в случае, если она не видна, соответствующая проекция точки будет заключена в скобки). Очевидно, что в нашей задаче точка С принадлежит поверхности, поскольку проекции точки принадлежат одноимённым проекциям линий, использованных для решения как при первом, так и при втором способе решения.Принадлежность линии поверхности. Основное положение:линия принадлежит поверхности, если все точки линии принадлежат заданной поверхности . Это означает, что в данном случае принадлежности должна быть несколько раз решена задача о принадлежности точки поверхности.Торема Монжа :если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в неё, то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения окружности касания.

12.СЕЧЕНИЯ КОНУСА ВРАЩЕНИЯ ПРОЕЦИРУЮЩИМИ ПЛОСКОСТЯМИ . При пересечении поверхностей тел проецирующими плоскостями, одна проекция сечения совпадает с проекцией проецирующей плоскости. Конус может иметь в сечении пять различных фигур.Треугольник - если секущая плоскость пересекает конус через вершину по двум образующим.Окружность - если плоскость пересекает конус параллельно основанию (перпендикулярно оси).Эллипс - если плоскость пересекает все образующие под некоторым углом.Параболу - если плоскость параллельна одной из образующих конуса.Гиперболу - если плоскость параллельна оси или двум образующим конуса.Сечение поверхности плоскостью представляет собой плоскую фигуру, ограниченную замкнутой линией, все точки которой принадлежат как секущей плоскости, так и поверхности. При пересечении плоскостью многогранника в сечении получается многоугольник с вершинами, расположенными на ребрах многогранника.Пример . Построить проекции линии пересечения L поверхности прямого кругового конуса ω плоскостью β.Решение . В сечении получается парабола, вершина которой спроецируется в точку А (А′, А′′). Точки A, D, E линии пересечения являются экстремальными. На рис. построение искомой линии пересечения осуществлено с помощью горизонтальных плоскостей уровня αi, которые пересекают поверхность конуса ω по параллелям рi , а плоскость β - по отрезкам фронтально проецирующих прямых. Линия пересечения L полностью видима на плоскостях.

№13.Соосные поверхности. Метод концентрических сфер.

При построении линии пересечения поверхностей особенности пересечения соосных поверхностей вращения позволяют в качестве вспомогательных поверхностей-посредников использовать сферы, соосные с данными поверхностями. К соосным поверхностям вращения относятся поверхности, имеющие общую ось вращения. На рис. 134 изображены соосные цилиндр и сфера (рис. 134, а), соосные конус и сфера (рис. 134, б) и соосные цилиндр и конус (рис. 134, в)

Соосные поверхности вращения всегда пересекаются по окружностям, плоскости которых перпендикулярны оси вращения. Этих общих для обеих поверхностей окружностей столько, сколько существует точек пересечения очерковых линий поверхностей. Поверхности на рис. 134 пересекаются по окружностям, создаваемым точками 1 и 2 пересечения их главных меридианов. Вспомогательная сфера-посредник пересекает каждую из заданных поверхностей по окружности, в пересечении которых получаются точки, принадлежащие и другой поверхности, а значит, и линии пересечения. Если оси поверхностей пересекаются, то вспомогательные сферы проводят из одного центра-точки пересечения осей. Линию пересечения поверхностей в этом случае строят способом вспомогательных концентрических сфер. При построении линии пересечения поверхностей для использования способа вспомогательных концентрических сфер необходимо выполнение следующих условий:1) пересечение поверхностей вращения;2) оси поверхностей - пересекающиеся прямые - параллельны одной из плоскостей проекций, т. е. имеется общая плоскость симметрии;3) нельзя использовать способ вспомогательных секущих плоскостей, так как они не дают графически простых линий на поверхностях. Обычно способ вспомогательных сфер используется в сочетании со способом вспомогательных секущих плоскостей. На рис. 135 построена линия пересечения двух конических поверхностей вращения с пересекающимися во фронтальной плоскости уровня Ф (Ф1) осями вращения. Значит, главные меридианы этих поверхностей пересекаются и дают в своем пересечении точки видимости линии пересечения относительно плоскости П2 или самую высокую А и самую низкую В точки. В пересечении горизонтального меридиана h и параллели h", лежащих в одной вспомогательной секущей плоскости Г(Г2), определены точки видимости С и D линии пересечения относительно плоскости П1. Использовать вспомогательные секущие плоскости для построения дополнительных точек линии пересечения нецелесообразно, так как плоскости, параллельные Ф, будут пересекать обе поверхности по гиперболам, а плоскости, параллельные Г, будут давать в пересечении поверхностей окружности и гиперболы. Вспомогательные горизонтально или фронтально проецирующие плоскости, проведенные через вершину одной из поверхностей, будут пересекать их по образующим и эллипсам. В данном примере выполнены условия, позволяющие применение вспомогательных сфер для построения точек линии пересечения. Оси поверхностей вращения пересекаются в точке О (О1; О2), которая является центром вспомогательных сфер, радиус сферы изменяется в пределах Rmin < R < Rmах- Радиус максимальной сферы определяется расстоянием от центра О наиболее удаленной точки В (Rmax = О2В2), а радиус минимальной сферы определяется как радиус сферы, касающейся одной поверхности (по окружности h2) и пересекающей другую (по окружности h3).Плоскости этих окружностей перпендикулярны осям вращения поверхностей. В пересечении этих окружностей получаем точки Е и F, принадлежащие линии пересечения поверхностей:

h22 ^ h32 = E2(F2); Е2Е1 || А2А1; Е2Е1 ^ h21 =E1; F2F ^ h1 = F1 Промежуточная сфера радиуса R пересекает поверхности по окружностям h4 и h5, в пересечении которых находятся точки Ми N:h42 ^ h52 = M2(N2); M2M1 || А2А1, М2М1 ^ h41 = М1; N2N1 ^ h41 = N1 Соединяя одноименные проекции построенных точек с учетом их видимости, получаем проекции линии пересечения поверхностей.

№14. построение линии пересечения поверхностей, если хотя бы одна из них проецирующая. Характерные точки линии пересечения.

Прежде чем приступить к построению линии пересечения поверхностей, необходимо внимательно изучить условие задачи, т.е. какие поверхности пересекаются. Если одна из поверхностей является проецирующей, то решение задачи упрощается, т.к. на одной из проекций линия пересечения совпадает с проекцией поверхности. И задача сводится к нахождению второй проецирующей линии. При решении задачи следует отметить в первую очередь «характерные» точки или «особые». Это:

· Точки на крайних образующих

· Точки, делящие линию на видимую и невидимую часть

· Верхние и нижние точки и др. Далее следует разумно выбрать способ, каким будем пользоваться при построении линии пересечения поверхностей. Мы будем пользоваться двумя способами: 1. вспомогательных секущих плоскостей. 2. вспомогательных секущих сфер. К проецирующим поверхностям относятся: 1) цилиндр, если его ось перпендикулярна плоскости проекций; 2) призма, если ребра призмы перпендикулярны плоскости проекций. Проецирующая поверхность проецируется в линию на плоскость проекций. Все точки и линии, принадлежащие боковой поверхности проецирующего цилиндра или проецирующей призме проецируются в линию на ту плоскость, которой ось цилиндра или ребро призмы перпендикулярно. Линия пересечения поверхностей принадлежит обеим поверхностям одновременно и, если одна из этих поверхностей проецирующая, то для построения линии пересечения можно использовать следующее правило: если одна из пересекающихся поверхностей проецирующая, то одна проекция линии пересечения есть на чертеже в готовом виде и совпадает с проекцией проецирующей поверхности (окружность, в которую проецируется цилиндр или многоугольник, в который проецируется призма). Вторая проекция линии пересечения строится исходя из условия принадлежности точек этой линии другой не проецирующей поверхности.

Рассмотренные особенности характерных точек позволяют легко проверить правильность построения линии пересечения поверхностей, если она построена по произвольно выбранным точкам. В данном случае десяти точек достаточно для проведения плавных проекций линии пересечения. При необходимости может быть построено любое количество промежуточных точек. Построенные точки соединяют плавной линией с учетом особенностей их положения и видимости. Сформулируем общее правило построения линии пересечения поверхностей: выбирают вид вспомогательных поверхностей; строят линии пересечения вспомогательных поверхностей с заданными поверхностями; находят точки пересечения построенных линий и соединяют их между собой. Вспомогательные секущие плоскости выбираем таким образом, чтобы в пересечении с заданными поверхностями получались геометрически простые линии (прямые или окружности). Выбираем вспомогательные секущие плоскости. Чаще всего, в качестве вспомогательных секущих плоскостей выбирают проецирующие плоскости, в частности, плоскости уровня. При этом необходимо учитывать линии пересечения, получаемые на поверхности, в результате пресечения поверхности плоскостью. Так конус является наиболее сложной поверхностью по числу получаемых на нем линий. Только плоскости, проходящие через вершину конуса или перпендикулярные оси конуса, пересекают его соответственно по прямой линии и окружности (геометрически простейшие линии). Плоскость, проходящая параллельно одной образующей пересекает его по параболе, плоскость параллельная оси конуса пересекает его по гиперболе, а плоскость, пересекающая все образующие и наклонные к оси конуса, пересекает его по эллипсу. На сфере, при пересечении ее плоскостью, всегда получается окружность, а если пересекать ее плоскостью уровня, то эта окружность проецируется на плоскости проекции соответственно в прямую линию и окружность. Итак, в качестве вспомогательных плоскостей выбираем горизонтальные плоскости уровня, которые пересекают и конус, и сферу по окружностям (простейшие линии).Некоторые особые случаи пересечения поверхностей В некоторых случаях расположение, форма или соотношения размеров криволинейных поверхностей таковы, что для изображения линии их пресечения никаких сложных построений не требуется. К ним относятся пересечение цилиндров с параллельными образующими, конусов с общей вершиной, соосных поверхностей вращения, поверхностей вращения, описанных вокруг одной сферы.

Поверхностью называют множество последовательных положений линии, перемещающейся в пространстве. Эта линия может быть прямой или кривой и называется образующей поверхности. Если образующая кривая, она может иметь постоянный или переменный вид. Перемещается образующая по направляющим , представляющим собой линии иного направления, чем образующие. Направляющие линии задают закон перемещения образующим. При перемещении образующей по направляющим создается каркас поверхности (рис. 84), представляющей собой совокупность нескольких последовательных положений образующих и направляющих. Рассматривая каркас, можно убедиться, что образующие l и направляющие m можно поменять местами, но при этом поверхность получается одна и та же.

Любую поверхность можно получить различными способами. Так, прямой круговой цилиндр (рис. 85) можно создать вращением образующей l вокруг оси i, ей параллельной. Тот же цилиндр образуется перемещением окружности m с центром в точке O, скользящим по оси i. Любая кривая k, лежащая на поверхности цилиндра, образует эту поверхность при своем вращении вокруг оси i.

На практике из всех возможных способов образования поверхности выбирают наиболее простой.

В зависимости от образующей формы все поверхности можно разделить на линейчатые , у которых образующая прямая линия, и нелинейчатые , у которых образующая кривая линия.

В линейчатых поверхностях выделяют поверхности развертывающиеся, совмещаемые всеми своими точками с плоскостью без разрывов и складок, и неразвертывающиеся, которые нельзя совместить с плоскостью без разрывов и складок.

К развертывающимся поверхностям относятся поверхности всех многогранников, цилиндрические, конические и торсовые поверхности. Все остальные поверхности - неразвертывающиеся. Нелинейчатые поверхности могут быть с образующей постоянной формы (поверхности вращения и трубчатые поверхности) и с образующей переменной формы (каналовые и каркасные поверхности).

Для задания поверхностей выбирают такую совокупность независимых геометрических условий, которая однозначно определяет данную поверхность в пространстве. Эта совокупность условий называется определителем поверхности .

Определитель состоит из двух частей: геометрической, в которую входят основные геометрические элементы и соотношения между ними, и алгоритмической, содержащей последовательность и характер операций перехода от основных постоянных элементов и величин к переменным элементам поверхности, т. е. закон построения отдельных точек и линий данной поверхности.

Поверхность на комплексном чертеже задается проекциями геометрической части ее определителя с указанием способа построения ее образующих. На чертеже поверхности для любой точки пространства однозначно решается вопрос о принадлежности ее данной поверхности. Графическое задание элементов определителя поверхности обеспечивает обратимость чертежа, но не делает его наглядным. Для наглядности прибегают к построению проекций достаточно плотного каркаса образующих и к построению очерковых линий поверхности (рис. 86).

При проецировании поверхности Ω на плоскость проекций проецирующие лучи прикасаются этой поверхности в точках, образующих на ней некоторую линию l, которая называется контурной линией. Проекция контурной линии называется очерком поверхности. На комплексном чертеже любая поверхность имеет: на П 1 - горизонтальный очерк, на П 2 - фронтальный очерк, на П 3 - профильный очерк. Очерк включает в себя, кроме проекций линии контура, также проекции линий обреза.

Из существенного множества поверхностей в курсе инженерной графики будут рассмотрены все развертывающиеся поверхности, к которым относятся гранные, конические, цилиндрические, торсовые, некоторые поверхности вращения и винтовые.

Простейшей поверхностью, широко используемой в инженерной графике, является плоскость, представляющая собой поверхность, образованную перемещением прямолинейной образующей (рис. 87) по двум параллельным или пересекающимся прямым m 1 и m 2 .

Цель работы:

1. Приобретение навыков пространственного представления, позволяющих по заданной направляющей и оси, построить очерк поверхности вращения.

2. Приобретение навыков нахождения проекций точек, принадлежащих поверхности.

1. По заданному определителю (направляющей) поверхности построить очерки поверхности.

2. Самостоятельно задать исходные данные одной из проекций шести точек, принадлежащих построенной поверхности. Показать различные случаи: точки принадлежат очерковым линиям и поверхности в общем случае.

3. Построить недостающие проекции каждой из шести точек, принадлежащих поверхности и обозначить их.

Варианты задания приведены в таблице 1 на стр. 8-12. Номер варианта задания соответствует порядковому номеру фамилии студента в списке группы.

Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением некоторой линии (образующей) вокруг оси.

Алгоритм построения очерка поверхности вращения:

1. На образующей выбираем дискретный ряд точек.

2. Строим параллели, проходящие через выбранные точки.

3. Соединяем крайние положения точек на параллелях плавной кривой линией.

Пример построения очерка поверхности вращения.

1. Строим горловинную параллель, проходящую через точку 1, которая является близлежащей к оси i. Точки 1’ и 1’’ будут занимать крайние положения при вращении точки 1 вокруг оси.

2. Выберем точки 2 и 3 и построим параллели, которые через них проходят. Также можно выбрать на образующей точку 4, в которой очерковые линии будут касаться образующей.

3. На фронтальной проекции очерком однополостного гиперболоида является гипербола, а на горизонтальной проекции – горловинная и наибольшая по размерам параллели.

4. Точки лежащие на поверхности строим с помощью параллелей. Например, на горизонтальной проекции задана точка А (А 1). Необходимо построить ее фронтальную проекцию при условии, что точка А принадлежит поверхности вращения. Строим параллель, проходящую через точку А на горизонтальной проекции и ее фронтальную проекцию. С помощью линии проекционной связи находим фронтальную проекцию точки А (А 2).

Таблица 1 Варианты задания «Построение очерка поверхности»:

Таблица 1 (продолжение)

ТЕМА 2 ПОСТРОЕНИЕ ВИДОВ

Цель работы:

1. Изучение и практическое применение правил изображения предметов – построение видов в соответствии с ГОСТ 2.305–68.

2. Приобретение навыков пространственного представления, позволяющих по аксонометрическому изображению предмета представить его форму, взаимное расположение частей и ориентацию относительно плоскостей проекций.

3. Приобретение навыков по аксонометрическому изображению построения трех основных видов предмета.

4. Развитие навыков в простановке размеров детали по ГОСТ 2.307–68.

ОБЩИЕ ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ ЧЕРТЕЖЕЙ

Форматы

Обозначения и размеры форматов определяются размерами внешней рамки и должен соответствовать стандарту (табл. 2).

Таблица 2

Все форматы за исключением А4 могут располагаться как вертикально, так и горизонтально. Формат А4 располагается тольковертикально .

Каждый чертеж имеет внутреннюю рамку, которая ограничивает поле чертежа и наносится сплошной основной линией толщиной S=0,8 – 1 мм. Поле с левой стороны формата предназначено для подшивки и брошюровки чертежей (рис. 2).

Основная надпись

На чертежах необходимо выполнить основную надпись, содержащую сведения об изображенном изделии и информацию о том, кем выполнен данный чертёж. Основная надпись размещается в правом нижнем углу.

1 - наименование изделия или наименование изучаемой темы.

2 - обозначение документа;

3 - масштаб;

4 - порядковый номер листа (графу не заполняют на документах, выполненных на одном листе);

5 - общее количество листов документа (графу заполняют на первом листе);

6 - литера документа;

7 - фамилии;

8 - подписи;

9 - дата подписи документа;

10 - наименование, индекс предприятия;

11 – обозначение материала (заполняется на чертежах деталей).

Все графы, кроме подписей и дат, а также графы титульного листа, заполняются карандашом, стандартным шрифтом (п. 2.1.5 «Шрифты чертёжные»). Необходимо обратить внимание на то, что на изображении основной надписи присутствуют основные и тонкие линии.

Масштабы

Масштабы изображений и их обозначение на чертежах устанавливает стандарт .

Масштабом называется отношение линейных размеров изображения предмета на чертеже к истинным линейным размерам предмета.

В зависимости от сложности изображаемого предмета, его изображения на чертежах могут выполняться как в натуральную величину, так и с уменьшением или с увеличением (табл. 3).

Таблица 3

Линии

Начертания, толщины и основные назначения девяти типов линий, применяемых на чертежах, устанавливает стандарт . В учебных чертежах наиболее часто используются шесть типов линий.

Сплошная толстая основная. Толщина s ≈ 0,5 … 1,4 мм. Назначение: изображение линий видимого контура, внутренняя рамка чертежа и др.

Сплошная тонкая линия. Толщина от s/3 до s/2. Назначение: изображение линий контура наложенного сечения, линий размерных и выносных, линий штриховки и др.

Штрихпунктирная тонкая линия. Толщина от s/3 до s/2. Назначение: изображение линий осевых и центровых и др.

Штриховая линия . Толщина линии от s/3 до s/2. Назначение: изображение линий невидимого контура.

Сплошная волнистая линия. Толщина линии от s/3 до s/2. Назначение: изображение линий обрыва, линий разграничения вида и разреза.

Разомкнутая линия. Толщина линии от s до 1,5s. Назначение: изображение положений секущих плоскостей простых и сложных разрезов и сечений.

Заметим, что штрихпунктирные линии, применяемые в качестве центровых линий, должны пересекаться между собой длинными штрихами. Штрихпунктирную линию, применяемую в качестве центровой линии окружности с диаметром менее 12 мм, рекомендуется заменять сплошной тонкой линией.

Шрифты чертежные

Размер шрифта определяется высотой прописных (заглавных) букв. Установлены следующие размеры шрифта: 2,5; 3,5; 5; 7; 10; 14. Ширина буквы определяется по отношению к размеру шрифта или по отношению к толщине линии обводки d (рис. 4).

Стандарт устанавливает следующие типы шрифта:

тип А без наклона (d=h/14 );

тип А с наклоном около 75˚ (d=h/14 );

тип Б без наклона (d=h/10 );

тип Б с наклонам около 75˚ (d=h/10 ).

Форма и конструкция арабских цифр шрифта типа Б с наклоном приведены на рис. 5.

Форма прописных букв с наклоном русского алфавита (кириллицы) представлена на рис. 6. Ширина буквы зависит не только от размера шрифта, но и от конструкции самой буквы.

Форма и конструкция строчных букв русского алфавита шрифта типа Б с наклоном приведены на рис. 7.

ПОСТРОЕНИЕ ВИДОВ

Методические указания по выполнению:

Изображения предметов должны выполняться по методу прямоугольного проецирования. При этом предмет предполагается расположенным между наблюдателем и соответствующей плоскостью проекций (рис. 9).

Изображение на фронтальной плоскости проекций плоскость 1 принимается на чертеже в качестве главного вида (рис. 10).

Устанавливаются следующие названия видов, получаемых на основных плоскостях проекций (основные виды , рис. 9 и 10):

Рис. 10

Предмет располагают относительно фронтальной плоскости проекций П2 так, чтобы изображение на ней давало наиболее полное представление о форме и размерах предмета.

Все виды (проекции предмета) находятся в проекционной связи (7 – линии связи (рис.9 и 10)). В этом случае названия видов на чертежах надписывать не следует. Если же виды сверху, слева, справа, снизу, сзади смещены относительно главного изображения (изображено на фронтальной плоскости проекций), то они должны быть отмечены на чертеже надписью по типу «А» (рис. 11).

Направление взгляда должно быть указано стрелкой, обозначенной прописной буквой (рис. 12).

Таблица 4. Варианты задания «Построение видов»:

Таблица 4 (продолжение)

Поверхностью в геометрии называется граница, отделяющая геометрическое тело (цилиндр, конус, шар и т.д.) от внешнего пространства . На чертежах (эпюрах) изображают только точки и линии (прямые или кривые). Поэтому поверхность можно изобразить только тогда, когда она проецируется в линию или совокупность линий.

Поверхность может быть задана с помощью модели (обувная колодка, манекен и др.), с помощью уравнения, кинематически – как след движущейся в пространстве линии, и др. В начертательной геометрии принят кинематический способ образования поверхности. Можно сказать, что поверхность – это непрерывная совокупность последовательных положений движущейся в пространстве прямой или кривой линии . Линия, которая при своем движении образует поверхность, называется образующей .

2.4.1. Задание поверхности с помощью определителя . Для того, чтобы задать поверхность, достаточно задать образующую поверхности и определить закон, по которому она перемещается в пространстве. Законы движения образующих могут задаваться различно:

1) Образующая движется, пересекая какую-либо неподвижную линию, которая называется направляющей .

2) Образующая движется, пересекая две или три направляющие линии.

3) Образующая движется параллельно самой себе или параллельно некоторой плоскости, которая называется плоскостью параллелизма и др.

Образующая вместе с геометрическими фигурами, определяющими ее движение, а также закон ее движения составляют определитель поверхности. Можно сказать, что определитель поверхности представляет собой совокупность независимых параметров, однозначно задающих поверхность.

Определитель состоит из двух частей:

1) Геометрическая часть – фигуры (точки, линии, поверхности) подвижные и неподвижные, с помощью которых образуется поверхность.

2) Алгоритмическая часть – правило движения (закон движения) образующей по отношению к неподвижным фигурам определителя.

В ряде случаев образующая при своем движении может деформироваться, что тоже оговаривается в алгоритмической части определителя. Основанием к составлению определителя является анализ способа образования поверхности и ее основных свойств. Каждая поверхность может быть задана разными определителями.

Для примера рассмотрим определитель произвольной цилиндрической поверхности (рис. 2.34). Запись определителя имеет вид:

Ф (l , a ) - цилиндрическая поверхность

(геометрическая часть) (алгоритмическая часть)

Эта запись дается совместно с чертежом. В записи геометрической части буквой Ф обозначается поверхность, буквой l – образующая, буквой а - направляющая. Форма и положение в пространстве образующей и направляющей определяются по чертежу.

В записи алгоритми-ческой части дается название поверхности. Для поверх-ности с данным названием общеизвестно, какое движе-ние совершает l , образуя поверхность Ф . Но можно и подробно записать характер движения образующей. В нашем случае образующая l движется параллельно самой себе и все время пересекает направляющую а . Определитель вполне определяет поверхность, т.к. с его помощью можно построить ее проекции.

На рис. 2.35, а задан комплексный чертеж определителя цилиндрической поверхности Ф (l , a ) и проекция А 2 точки А , принадлежащей поверхности. Необходимо построить горизонтальную проекцию А 1 точки А .

Зная алгоритмическую часть определителя, выполним следующие построения (рис. 2.35, б ):

1) Через А 2 параллельно l 2 проводим и находим фронтальную проекцию В 2 точки пересечения с а 2 (этап 1). Этапы указаны стрелками.

2) С помощью линии проекционной связи на а 1 находим В 1 (этап 2).

3) Через точку В 1 проводим параллельно l 1 (этап 3).

4) На с помощью линии связи строим А 1 (этап 4).

2.4.2. Каркас поверхности . Если построить некоторое количество образующих по описанному в алгоритме определителя способу, то получим каркас или сеть поверхности (рис. 2.36).

Изображенный на рис. 2.36, а каркас называется однопараметрическим, т.к. он состоит из линий, принадлежащих одному семейству. Это дискретный каркас, он состоит из конечного числа линий.

Можно представить себе и непрерывный каркас образующих. Непрерывный каркас – это множество линий, заполняющих поверхность так, что через каждую точку поверхности проходит только одна линия каркаса.

На одной и той же поверхности, в зависимости от определителя, можно представить себе и другие каркасы. Если в определителе цилиндрической поверхности образующую и направляющую поменять местами и считать, что кривая а будет образующей, которая движется параллельно самой себе и все время пересекает направляющую l , то получится другой однопараметрический каркас (рис. 2.36, б ).

Если на поверхности построить два каркаса, то получится двупараметрический каркас (рис. 2.36, в ). Через каждую точку поверхности, заданной двупараметрическим каркасом, проходят две линии каркаса.

2.4.3. Задание поверхности, не имеющей определителя . Существуют незакономерные поверхности, к которым относятся манекен, обувная колодка, кузова автомобилей, фюзеляжи самолетов, корпуса морских и речных судов, рельеф земной поверхности и др. Такие поверхности называются графическими и задаются дискретным каркасом. Чаще всего линии этого каркаса представляют собой плоские кривые, параллельные какой-либо плоскости проекций. Если плоскости линий каркаса параллельны горизонтальной плоскости проекций, то такие линии называются горизонтальными.

2.4.4. Очерк поверхности . Линия пересечения проецирующей поверхности, огибающей заданную поверхность, с плоскостью проекций называется очерком поверхности . На рис. 2.37 показано проецирование сферы Т на плоскость П 1 . Множество горизонтально-проецирующих лучей, касательных к поверхности сферы, образуют огибающую горизонтально–проецирующую цилиндрическую поверхность Ф . Линия пересечения Ф и П 1 представляет собой горизонтальный очерк поверхности – окружность а 1 .

Очерковой линией повер-хности называется линия, по которой огибающая проеци-рующая поверхность касается данной поверхности. В нашем случае очерковой линией будет большая окружность сферы а (экватор).

Изображения поверхнос-тей, заданных определителем, не всегда наглядны. Более наглядны изображения поверхностей с помощью очерков. Очерк поверхности почти всегда включает в себя ее определитель. При построении проекций точки, лежащей на поверхности, изображенной очерком, необходимо сначала выделить проекции определителя, а потом, пользуясь алгоритмом определителя, построить проекции точки.

На рис. 2.38, а поверхность наклонного эллиптического цилиндра задана определителем, а на рис. 2.38, б очерком. Горизонтальный очерк представляет собой линию, состоящую из отрезков прямых и кривых ; фронтальный очерк представляет собой параллелограмм .

Образующие горизонтального очерка и и образующие фронтального очерка и не совпадают друг с другом. Из проекций очерка можно выделить геометрическую часть определителя, которая будет состоять из эллипса и какой-нибудь образующей, например .

2.4.5. Проекции плоскостей . Плоскость можно рассматривать как частный случай поверхности. Плоскость Σ может быть образована за счет движения прямолинейной образующей l параллельно самой себе, при этом образующая пересекает все точки направляющей прямой а (рис. 2.39). Определитель плоскости в этом случае имеет вид: Σ (а , l ).

Из геометрии известно, что плоскости вполне определяются:

1) Тремя точками А , В и С , не лежащими на одной прямой (рис.2.40, а ).

2) Прямой а и точкой А вне её (рис. 2.40, б ).

3) Двумя параллельными прямыми а и b (рис. 2.40, в ).

4) Двумя пересекающимися прямыми а и b (рис. 2.40, г ).

Задание плоскости пересекающимися прямыми а и b (рис. 2.40, г ) можно рассматривать, как универсальный способ задания плоскости, так как все остальные можно привести к нему. Так, например, если плоскость задана тремя точками А , В и С (рис. 2.40, а ), то, соединяя точки А с В и В с С , получаем пересекающиеся прямые АВ и ВС .

2.4.6. Виды плоскостей по их расположению в пространстве . По расположению относительно плоскостей проекций плоскости можно разбить на три вида:

1) плоскости общего положения – плоскости, не параллельные и не перпендикулярные плоскостям проекций;

2) плоскости проецирующие – плоскости, перпендикулярные к какой-либо плоскости проекций;

3) плоскости уровня – плоскости, параллельные какой-либо одной плоскости проекций и перпендикулярные двум другим.

Рассмотрим некоторые особенности каждого из перечисленных видов плоскостей.

Плоскости общего положения. На рис. 2.40 изображены плоскости общего положения. Для этих плоскостей характерно, что задающие их элементы (точки, прямые и др.) ни на одной проекции не сливаются в прямую линию, т.е. не лежат на одной прямой.

На рис. 2.41 задана плоскость Σ () и одна проекция А 2 точки А , принадлежащей плоскости Σ . Будем считать, что а – направляющая, а b - образующая плоскости Σ . Помня, что все образующие параллельны между собой и все пересекаются с направляющей, выполним следующие построения:

1) Через точку А 2 проведем проекцию образующей m 2 ║b 2 и построим точку К 2 пересечения m 2 с а 2 (этап 1).

2) На линии связи и на а 1 находим К 1 (этап 2).

3) Через К 1 проводим m 1 ║b 1 (этап 3).

4) С помощью линии связи на m 1 находим А 1 (этап 4).

В данном построении образующая m 1 , лежащая в плоскости Σ , строилась по точке и известному направлению. Однако при построении точки, лежащей в плоскости, можно воспользоваться не только образующей, лежащей в плоскости. На рис. 2.42 горизонтальная проекция точки А построена с помощью произвольной прямой. При этом выполнены построения:

1) Через заданную проекцию А 2 проводим произвольную прямую m 2 и, считая, что m лежит в плоскости Σ (), отмечаем точки ее пересечения К 2 и М 2 с а 2 и b 2 (этап 1).

2) Строим К 1 и М 1 на а 1 и b 1 с помощью линий связи (этап 2).

3) Соединим К 1 и М 1 и получим m 1 (этап 3).

4) На m 1 с помощью линии связи находим А 1 (этап 4).

Очевидно, для того, чтобы в плоскости построить точку, необходимо в этой плоскости провести прямую и затем на прямой взять точку. При этом прямая расположена в плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие плоскости.

Проецирующие плоскости. Различают три вида проецирующих плоскостей:

1) Горизонтально-проецирующие , перпендикулярные П 1 .

2) Фронтально-проецирующие , перпендикулярные П 2 .

3) Профильно-проецирующие , перпендикулярные П 3 .

При изображении проецирующих плоскостей надо иметь в виду, что одноименная проекция такой плоскости всегда вырождается в прямую, как было показано ранее. Эта прямая называется главной проекцией или следом проецирующей плоскости; эту проекцию также называют вырожденной . Для того, чтобы отличать проецирующую плоскость от прямой, главную проекцию проецирующей плоскости на чертеже часто изображают с утолщением конца.

На рис. 2.43, а показано наглядное изображение произвольной горизонтально-проецирующей плоскости Σ (а ║b ) и ее главной проекции Σ 1 . Комплексный чертеж этой плоскости приведен на рис.2.43, б . На главную проекцию плоскости проецируются все точки, лежащие в плоскости.

Фронтально-проецирующая плоскость Т (с d ) изображена на рис. 2.44, а , профильно-проецирующая плоскость Г (е f ) - на рис. 2.44, б и профильно-проецирующая плоскость Р (а ║ b ) - на рис. 2.44, в .

Благодаря проецирующему свойству прое цирующие плоскости можно задавать одной своей главной проекцией (следом, вырожденной проекцией). На рис. 2.45 задана фронтально-проецирующая плоскость Σ .

Из стереометрии известно, что плоскости перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Поэтому в каждой проецирующей плоскости можно построить одноименную проецирующую прямую. На рис. 2.43, б в плоскости Σ (а ║b ) построена горизонтально-проецирующая прямая с . На рис. 2.44, а в плоскости Т (с d ) построена фронтально-проецирующая прямая f .

В плоскостях Г (е f ) (рис. 2.44, б ) и Р (а ║ b ) (рис. 2.44, в ) есть прямые, перпендикулярные П 3 . Следовательно, эти плоскости являются профильно-проецирующими. Таким образом, профильно-проецирующие плоскости можно задавать только проекциями на П 1 и П 2 .

Вопрос о принадлежности точки и прямой к проецирующей плоскости решается проще, чем у плоскости общего положения. Проекция точки или прямой всегда находится в главной проекции плоскости, выродившейся в линию. Так, на рис.2.46, а показаны проекции точки А , а на рис. 2.46, б - прямой а , принадлежащих соответственно горизонтально- проецирующей плоскости Σ и фронтально-проецирующей плоскости Т .

Плоскости уровня. Различают три вида плоскостей уровня:

1) Горизонтальная плоскость, параллельная П 1 и перпендикулярная П 2 и П 3 .

2) Фронтальная плоскость, параллельная П 2 и перпендикулярная П 1 и П 3 .

3) Профильная плоскость, параллельная П 3 и перпендикулярная П 1 и П 2 .

Плоскости уровня можно назвать дважды проецирующими , т. к. каждая из них перпендикулярна к двум плоскостям проекций.

Из проецирующего свойства вытекает, что плоскости уровня проецируются в линии, каждая на двух плоскостях проекций. На рис. 2.47 дано наглядное изображение горизонтальной плоскости уровня Σ . Характерной особенностью чертежей плоскостей уровня является параллельность главной (вырожденной) проекции плоскости одной из осей чертежа. На рис. 2.47 Σ ║ П 1 и Σ П 2 , Σ П 3 . Докажем, что Σ 2 ║ х 12 .

Известно, что если две параллельные плоскости пересечь третьей плоскостью, то образуются параллельные прямые. При пересечении П 2 и П 1 образуется ось х 12 . При пересечении П 2 с Σ образуется ее главная проекция Σ 2 . Точно также доказывается, что Σ 3 ║ у 3 .

Горизонтальная плоскость Г (а b ) представлена на рис. 2.48, а , фронтальная плоскость Т (а ║ b ) - на рис. 2.48, б , профильная плоскость Ω (∆ АВС ) - на рис. 2.48, в .

2.4.7. Примеры на инцидентность. Рассмотрим несколько задач на взаимную принадлежность точки и прямой плоскости.

1) Через точку А провести плоскость общего положения Σ (а b ), где а ║ П 1 и b ║ П 2 (рис. 2.49, а ).

Решение: через точку А (А 1 , А 2 ) проводим проекции горизонтали а ║ П 1 и фронтали b ║ П 2 . Возможны и другие варианты. Так, через точку А можно провести горизонталь или фронталь и пересечь ее прямой общего положения. Можно также через точку А провести две прямые общего положения. Однако в этом случае необходимо осуществить проверку на отсутствие в полученной плоскости профильно-проецирующих прямых, наличие которых указывает на получение профильно-проецирующей плоскости.

2) Заключить прямую а (а 1 , а 2 ) общего положения в горизонтально- проецирующую плоскость Σ , задав ее своей главной проекцией Σ 1 (рис. 2.49, б ).

Решение: проводим главную проекцию Σ 1 совпадающую с горизонтальной проекцией а 1 .

3) Построить горизонтальную проекцию прямой b общего положения, пересекающейся с прямой а , чтобы обе прямые принадлежали горизонтально-проецирующей плоскости Т (рис. 2.49, в ).

Решение: проводим фронтальную проекцию прямой b так, чтобы b 2 не была параллельна или перпендикулярна х 12 , а горизонтальная проекция b 1 совпадала с а 1 . Главная проекция Т 1 плоскости Т в этом случае совпадает с горизонтальными проекциями пересекающихся прямых а и b .

4) Пересечь прямую а прямой частного положения d так, чтобы обе прямые были заключены в горизонтально-проецирующую плоскость Г (рис. 2.49, г ).

Решение: Прямую а в любом месте пересекаем горизонтально-проецирующей прямой d . Главная проекция Г 1 горизонтально-проецирующей плоскости Г совпадает с горизонтальными проекциями а 1 и d 1 прямых.

5) Заключить прямую а в профильно-проецирующую плоскость Ψ (рис. 2.50, а ).

Решение: в простейшем случае пересекаем прямую а профильно- проецирующей прямой b П 3 . Две пересекающиеся прямые а и b образуют профильно-проецирующую плоскость Ψ , т. к. если в плоскости имеется перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны между собой.

6) Через точку А провести горизонтально-проецирующую плоскость Σ (рис.2.50, б ).

Решение: через точку А 1 произвольно, но не перпендикулярно и не параллельно х 12 проводим главную проекцию Σ 1 плоскости Σ.

7) Через точку В провести горизонтальную плоскость уровня Т (рис. 2.50, в ).

Решение: через точку В 2 проводим главную проекцию Т 2 плоскости Т параллельно х 12 .

2.4.8. Параллельность прямой и плоскости. Известно, что прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, расположенной в этой плоскости. Пусть, например, через точку М необходимо провести прямую d общего положения параллельно плоскости, заданной в виде треугольника - Σ (АВС ) (рис. 2.51).

Решение : в плоскости Σ (АВС ) проводим произвольную прямую общего положения ED (E 1 D 1 , E 2 D 2 ). Далее через точку М 1 проводим горизонтальную проекцию d 1 ║ E 1 D 1 и фронтальную проекцию d 2 ║E 2 D 2 прямой d .

Если через точку К необходимо провести горизонталь b параллельно плоскости Σ (АВС), то построения следует выполнять в следующей последовательности:

1) Строим фронтальную проекцию A 2 D 2 горизонтали AD параллельно оси х 12 .

2) В проекционной связи находим горизонтальную проекцию A 1 D 1 .

3) Через точки К 1 и К 2 проводим проекции b 1 ║ A 1 D 1 и b 2 ║ A 2 D 2 искомой горизонтали b . Следует отметить, что вовсе не обязательно горизонталь проводить через точку А , в чем рекомендуем читателю убедиться.

2.4.9. Параллельные плоскости. Для построения параллельных плоскостей используем признак их параллельности, известный из стереометрии: «Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым второй плоскости».

Пусть требуется через точку К (рис. 2.52) провести плоскость Σ (а b ) параллельно плоскости Т (с d ). Для решения задачи через точку К проводим а ║ с так, чтобы а 1 ║ с 1 и а 2 ║ с 2 , и b ║ d , чтобы b 1 ║ d 1 и b 2 ║ d 2 .

На рис. 2.53 рассмотрена задача, когда требуется прямые а и b заключить в пару параллельных плоскостей. Условие задачи дано на рис. 2.53, а . Для решения ее возьмем на прямых а и b произвольные точки К и М (рис. 2.53, б ). Далее через точку К проводим прямую с ║ b , а через точку М прямую d ║ а . В результате получим параллельные плоскости Σ (а с ) и Т (b d ), т. к. две пересекающиеся прямые а и с плоскости Σ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым b и d плоскости Т .

2.4.10. Построение проекций плоскости при замене плоскостей проекций. Для того, чтобы построить проекции плоскости при замене плоскости проекций, плоскость должна быть задана тремя точками. При построениях каждая точка, задающая плоскость, преобразуется подобно рассмотренному ранее при замене плоскостей проекций. На рис. 2.54 показано преобразование плоскости при произвольной замене плоскости проекций П 2 на П 4 .

Самое сложное положение плоскости в пространстве – плоскость общего положения, более простое – проецирующая плоскость и самое простое - плоскость уровня. При решении задач плоскость обычно ставят из более сложного положения в более простое. Таким образом, ряд преобразований плоскости имеет вид: плоскость общего положения → плоскость проецирующая → плоскость уровня.

Сделаем первое преобра-зование. Пусть дана плоскость общего положения Σ (АВС ) (рис. 2.55), и ее необходимо преобразовать во фронтально- проецирующую. В проецирующей плоскости всегда содержится проецирующая прямая. Любую прямую способом замены плоскостей проекций можно преобразовать в проецирующую: прямую общего положения - с помощью двух преобразований, прямую уровня – с помощью одного преобразования.

Для решения задачи выполним первое преобразование. Для этого:

1) В плоскости Σ (АВС ) строим горизонталь АЕ (А 2 Е 2 , А 1 Е 1 ).

2) Ставим АЕ в проецирующее положение, заменив П 2 на П 4 , причем х 14 А 1 Е 1 .

3) Проецируем треугольник на новую плоскость П 4 . При этом в системе П 1 –П 4 треугольник АВС - проецирующий. Его новая фронтальная проекция А 4 В 4 С 4 представляет собой прямую.

Выполним второе преобразование. В системе П 1 –П 4 (рис. 2.53) Σ (ABC ) - фронтально–проецирующая плоскость, и ее необходимо преобразовать в плоскость уровня. Любая плоскость уровня параллельна одной плоскости проекций и перпендикулярна двум другим. В данном случае Σ (АВС ) П 4 . Поэтому, если заменить П 1 на П 5 , поставив П 5 ║ Σ (АВС ), то в системе П 4 –П 5 плоскость Σ (АВС ) станет плоскостью уровня.

Произведем построения. Для этого:

1) Проведем ось х 45 ║ Σ 4 .

2) В системе П 4 –П 5 строим проекции точек А 5 , В 5 и С 5 . Проекция треугольника А 5 В 5 С 5 представляет его натуральную величину, т. к. плоскость Σ (АВС ) ║ П 5 . При преобразовании плоскости общего положения в положение уровня выполнено два последовательных преобразования. Сначала заменена одна плоскость проекций, затем другая.

2.4.11. Классификация поверхностей. Произведем классификацию поверхностей по двум признакам:

По форме образующей:

1) Прямолинейную образующую имеют плоскости, многогранные поверхности и линейчатые кривые поверхности.

2) Криволинейную образующую, неизменяемую и изменяемую, - все остальные кривые поверхности.

По развертываемости поверхности на плоскость:

1) Развертываемые.

2) Неразвертываемые.

Развертыванием называется такая изометрическая деформация поверхности, при которой она может быть совмещена с плоскостью.

Изометрическую деформацию поверхности называют изгибанием. При изгибании отрезки линий, расположенных на поверхности, не меняют своей длины. Если поверхность может быть совмещена с плоскостью без складок и разрывов, то она развертываемая . Большинство поверхностей не совмещаемы с плоскостью без складок и разрывов и называются неразвертываемыми .

Развертываемыми являются многогранные поверхности и часть линейчатых – цилиндрические, конические и торсовые. О развертываемости плоскости говорить не приходится – она может быть совмещена с любой плоскостью.

Рассмотрим особенности построения изображений отдельных видов поверхностей.

2.4.12. Многогранные поверхности и многогранники. Принято считать , что многогранной поверхностью называется поверхность, образованная частями (отсеками) пересекающихся плоскостей.

Поверхностью многогранного угла называется поверхность, ребра и грани которой пересекаются в одной точке (вершине). Если пересечь поверхность многогранного угла плоскостью, то образуется геометрическая фигура – пирамида.

Поверхность многогранного угла можно получить движением образующей прямой, которая все время проходит через вершину угла и в то же время скользит по направляющему многоугольнику.

Если вершину многогранного угла отнести в бесконечность, то ребра поверхности станут параллельными, и образуется призматическая поверхность .

Если ограничить призматическую поверхность двумя параллельными плоскими основаниями, то образуется геометрическая фигура – призма .

Определитель многогранной поверхности включает в себя направляющий многоугольник, вершину для многогранного угла и какое–либо ребро для призматической поверхности.

На рис. 2.56 показана поверхность многогранного угла Ф (ABCD , S ) в пространственном изображении с направляющим четырехугольником ABCD и вершиной S . На рис. 2.56, а дан определитель поверхности. На рис. 2.56, б построен каркас поверхности.

На рис. 2.57, а показана призматическая поверхность Ф (АВС , l ) в пространственном изображении с направляющим треугольником АВС и образующей l ; на рис. 2.57, б показана призма.

Определителем пирамиды может быть ее основание и вершина. Определителем призмы – ее основание и одно боковое ребро или одна вершина другого основания.

При изображении многогранников их стараются расположить так, чтобы на проекциях их ребра и грани проецировались по возможности без искажения или с наименьшими искажениями.

Из всего многообразия многогранных поверхностей в качестве примера рассмотрим последовательность построения лишь правильных трёхгранных прямой призмы и пирамиды.

Прямая трехгранная правильная призма. На рис. 2.58, а дано графическое задание призмы Ф (АВС , ) своим определителем. Для того, чтобы получить комплексный чертеж призмы (рис. 2.58, б ), необходимо достроить два горизонтально–проецирующих ребра В и С и три горизонтальных ребра верхнего основания , и .

Проведем анализ элементов боковой поверхности призмы.

Боковые ребра – горизонтально–проецирующие прямые. Ребра оснований – горизонтали, из них ребра АС и - профильно–проецирующие прямые.

Боковые грани – горизонтально–проецирующие плоскости, из них грань - фронтальная плоскость. Основания – горизонтальные плоскости. На горизонтальной проекции оба основания и их ребра проецируются в натуральную величину. На фронтальной проекции боковые ребра и задняя фронтальная грань проецируются в натуральную величину.

Рассмотрим примеры на инцидентность. Пусть дана проекция К 2 точки К . Найти К 1 , считая, что точка лежит на видимой грани призмы (рис. 2.58, б ).

На фронтальной проекции видны грани и , грань не видна. Поэтому считаем, что точка К лежит на видимой грани , и ее горизонтальная проекция К 1 попадает на вырожденную проекцию грани (проецирующий след грани).

Пусть задана проекция М 1 точки М . Найти М 2 , считая, что точка лежит на видимом основании призмы.